Limite și Continuitate¶

Introducere¶

Conceptul de limită este fundamental în analiza matematică. El stă la baza definirii derivatelor și integralelor.

Definiția Limitei¶

Fie $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ și $a$ un punct de acumulare al lui $D$. Spunem că $L$ este limita lui $f$ în $a$ dacă:

$$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$$

Notăm: $\lim_{x \to a} f(x) = L$

Proprietăți ale Limitelor¶

Dacă $\lim_{x \to a} f(x) = L$ și $\lim_{x \to a} g(x) = M$, atunci:

1. Suma: $\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L + M$
2. Produsul: $\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$
3. Câtul: $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$, dacă $M \neq 0$

Continuitate¶

O funcție $f$ este continuă în punctul $a$ dacă:

$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$

Tipuri de discontinuități¶

Teoreme Importante¶

Teorema lui Weierstrass¶

Dacă $f$ este continuă pe $[a,b]$, atunci $f$ este mărginită și își atinge marginile.

Teorema valorii intermediare¶

Dacă $f$ este continuă pe $[a,b]$ și $f(a) \cdot f(b) < 0$, atunci $\exists c \in (a,b)$ astfel încât $f(c) = 0$.

Exerciții¶

1. Calculați $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}$
2. Demonstrați că $f(x) = x^2 + 1$ este continuă pe $\mathbb{R}$
3. Găsiți punctele de discontinuitate ale lui $f(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$