Integrale Definite și Nedefinite¶

Primitiva unei Funcții¶

O funcție $F$ se numește primitivă a lui $f$ pe intervalul $I$ dacă:

$$F'(x) = f(x), \quad \forall x \in I$$

Mulțimea tuturor primitivelor lui $f$ se numește integrala nedefinită:

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$

Table de Integrale de Bază¶

Metode de Integrare¶

Integrarea prin Părți¶

$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$

Exemplu: $\int x e^x \, dx$

Alegem $u = x$, $dv = e^x dx$, deci $du = dx$, $v = e^x$:

$$\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1) + C$$

Schimbarea de Variabilă¶

$$\int f(g(x)) \cdot g'(x)\, dx = \int f(t)\, dt \quad \text{unde } t = g(x)$$

Exemplu: $\int 2x \cos(x^2)\, dx$

Fie $t = x^2$, atunci $dt = 2x\, dx$:

$$\int \cos(t)\, dt = \sin(t) + C = \sin(x^2) + C$$

Integrala Definită¶

$$\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)$$

Interpretare Geometrică¶

Integrala definită reprezintă aria algebrică dintre graficul funcției și axa $Ox$ pe intervalul $[a, b]$.

Teorema Fundamentală a Calculului¶

Dacă $f$ este continuă pe $[a, b]$, atunci funcția:

$$F(x) = \int_a^x f(t)\, dt$$

este derivabilă și $F'(x) = f(x)$.

Proprietăți¶

1. Liniaritate: $\int_a^b [\alpha f + \beta g]\, dx = \alpha \int_a^b f\, dx + \beta \int_a^b g\, dx$
2. Aditivitate: $\int_a^b f\, dx = \int_a^c f\, dx + \int_c^b f\, dx$
3. Inegalitate: Dacă $f \leq g$ pe $[a,b]$, atunci $\int_a^b f\, dx \leq \int_a^b g\, dx$

Exerciții¶

1. Calculați $\int (3x^2 - 2x + 5)\, dx$
2. Calculați $\int_0^\pi \sin x\, dx$
3. Folosind integrarea prin părți, calculați $\int \ln x\, dx$
4. Calculați aria regiunii delimitate de $y = x^2$ și $y = x$