2/3
∑ Matematică Avansată
Derivate și Aplicații
Derivate și Aplicații¶
Definiția Derivatei¶
Derivata funcției $f$ în punctul $x_0$ este definită ca:
$$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$
dacă această limită există și este finită.
Reguli de Derivare¶
| Funcție | Derivată |
|---|---|
| $c$ (constantă) | $0$ |
| $x^n$ | $n \cdot x^{n-1}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ |
Regula Lanțului¶
$$\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$
Exemplu: $\frac{d}{dx}[\sin(x^2)] = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)$
Aplicații¶
Monotonie¶
- $f'(x) > 0$ pe $(a,b)$ ⟹ $f$ crescătoare pe $(a,b)$
- $f'(x) < 0$ pe $(a,b)$ ⟹ $f$ descrescătoare pe $(a,b)$
Extreme locale¶
Dacă $f'(x_0) = 0$ și $f''(x_0) > 0$ ⟹ minim local
Dacă $f'(x_0) = 0$ și $f''(x_0) < 0$ ⟹ maxim local
Pe această pagină